La teoria di Kantorovich dell'allocazione ottimale delle risorse. Biblioteca elettronica scientifica. Caratteristiche della vita, attività, contributo alla scienza, teorie economiche e matematiche di L.V. Kantorovich. Analisi della fase iniziale della storia della programmazione lineare, ideata
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1 Impronta dell'articolo: Legacy of Nobel Laureates in Economics: Shestakova A.A., Zabrodova O.S. L'eredità di Leonid Kantorovich, Tjalling Koopmans: la teoria della distribuzione ottimale delle risorse // L'eredità dei premi Nobel per l'economia: Sat. Arte. III Tutto russo. scientifico-pratico. conf. giovane. scienziato - Samara, Legacy of Leonid Kantorovich, Tjalling Koopmans: teoria dell'allocazione ottimale delle risorse 2016 Shestakova Alexandra Aleksandrovna studentessa Zabrodova Olesya Sergeevna studente 2016 Ufimtseva Lyudmila Ivanovna professore associato 2016 Bezglanaya Elena Alekseevna professore associato Samara State University of Economics applicazione della programmazione lineare, risorsa di Kantorovich il metodo di ottimizzazione dell'allocazione è considerato sull'esempio di un problema simile, utilizzando metodi grafici, matematici e il metodo del simplesso. Parole chiave: LV Kantorovich, T. Ch. Koopmans, Premio Nobel, ottimizzazione dell'allocazione delle risorse, programmazione lineare. Patrimonio Leonid Kantorovich, Tjalling Koopmans: teoria dell'allocazione ottimale delle risorse 2016 Shestakova Aleksandra Aleksandrovna studentessa Zabrodova Olesya Sergeevna studente 2016 Ufimtseva Lyudmila Ivanovna 2016 Bezglasnaya Elena Alekseevna Samara State University of Economics Descrizione del modello Kantorovich e del modello Kupmans di analisi dell'attività aziendale, pratica uso della programmazione lineare, un metodo di ottimizzazione dell'allocazione delle risorse di Kantorovich è considerato su un esempio di un problema simile, utilizzando il metodo grafico, matematico e l'algoritmo simplex.
2 Parole chiave: LV Kantorovich, Tjalling Koopmans, premio Nobel, ottimizzazione della distribuzione di una risorsa, programmazione lineare. Fino al Novecento. scienziati-economisti non hanno prestato la dovuta attenzione ai metodi matematici come mezzo per risolvere problemi a livello macro e micro dell'attività economica. Tuttavia, esiste una stretta relazione tra queste scienze, che scienziati eccezionali sono stati in grado di dimostrare. Uno di questi è L.V. Kantorovich e T.Ch. Koopmans, economisti matematici sovietici e americani, che, per il loro lavoro, ricevettero il Premio Nobel nel 1975 "per il loro contributo alla teoria dell'allocazione ottimale delle risorse". Modello LV Kantorovich, URSS. LV Kantorovich è diventato uno dei fondatori del metodo di ottimizzazione più importante e più utilizzato: la programmazione lineare. Nel 1937, a L. Kantorovich fu affidato il compito di scegliere il miglior programma di produzione per il caricamento di pelatrici per la fiducia del compensato. Allo stesso tempo, è noto il numero di macchine che possono essere utilizzate per la produzione di determinati prodotti, nonché il numero di parti che compongono il prodotto. I coefficienti tecnici mostrano quanti pezzi di ogni pezzo la macchina può produrre al giorno. In altre parole, Kantorovich doveva risolvere uno specifico problema tecnico ed economico con una funzione oggettiva per massimizzare la produzione dei prodotti finiti. Pertanto, lo scienziato si trova di fronte a un tipico rappresentante di una classe completamente nuova di problemi, che porta a interrogarsi sulla ricerca del miglior piano di produzione. Kantorovich ha delineato la sua idea, che in seguito è diventata la base della teoria dell'allocazione ottimale delle risorse e ha segnato la scoperta della programmazione lineare, nel suo lavoro Metodi matematici per l'organizzazione e la pianificazione della produzione (1939). In esso, il professore ha dimostrato per la prima volta che vari problemi di produzione possono essere formulati come problemi di ottimizzazione di un certo tipo e ha proposto un approccio generale per risolverli, utilizzando il metodo dell'iterazione. Per risolvere il problema, Kantorovich ha introdotto una variabile che dovrebbe essere massimizzata sotto forma di somma dei costi dei prodotti realizzati da tutte le macchine. I vincoli sono stati stabiliti sotto forma di equazioni che stabiliscono la relazione tra tutti i fattori coinvolti nella produzione e la quantità di output prodotta su ciascuna macchina. Per gli indicatori dei fattori di produzione sono stati introdotti dei coefficienti, detti “fattori determinanti” (di seguito stime oggettivamente determinate). Con il loro aiuto, il compito è risolto. Le stime oggettivamente determinate sono il punto chiave del metodo di Kantorovich. Sono associati a un'interpretazione simile ai moltiplicatori di Lagrange nei classici problemi estremi e l'essenza economica è che sono i costi marginali dei fattori limitanti. Cioè, questi sono i prezzi oggettivi di ciascuno dei fattori di produzione rispetto alle condizioni di un mercato competitivo. Inoltre, queste stime non sono arbitrarie, i loro valori sono determinati oggettivamente, sono fissati dalle condizioni specifiche del problema. Così è stata fatta una scoperta che permette di ottimizzare la produzione, diventa possibile gestire in modo decentralizzato le attività dei settori produttivi, la cui struttura tecnologica può essere descritta per mezzo di dipendenze lineari (equazioni e disuguaglianze). "Analisi dell'attività" T.Ch. Koopmans, Stati Uniti. Un po' più tardi di Kantorovich, Koopmans nel suo lavoro "The Correlation between Freight Flows along Different Routes" (1942) ha considerato il problema dello sviluppo di un piano per il commercio e
3 Eredità dei premi Nobel in economia: navigazione con una minima possibilità di silurare le navi da parte dei sottomarini. Ha concluso che il problema dovrebbe essere visto come una funzione di massimizzazione lineare entro molti vincoli. Le restrizioni, a loro volta, sono state presentate dallo scienziato con equazioni matematiche che esprimono il rapporto tra il numero di fattori di produzione spesi (ammortamento delle navi, tempo, costo del lavoro) e il numero di merci consegnate a destinazioni diverse. In questo caso, il costo totale non può superare l'importo del costo delle merci consegnate a ciascun porto. Koopmans ha concluso che l'essenza del principio della programmazione lineare è la coincidenza di stime delle risorse ideali dei costi e dei risultati di produzione nel caso ottimale. Il metodo Koopmans, chiamato "analisi delle attività dell'impresa", è entrato nella metodologia generale della programmazione lineare. I modelli di questo tipo differiscono da quelli lineari in quanto in essi la produzione può essere associata al rilascio di più beni. È inoltre possibile scegliere tra diverse tecnologie di fabbricazione per ogni tipologia di prodotto. È importante che il modello possa essere applicato sia nella teoria economica che nella pratica gestionale. Ciò è dovuto alla determinazione di un coefficiente pari al prezzo di costo in un mercato ideale utilizzando le equazioni ottenute. Il modello di Koopmans è di grande valore non solo per le autorità di pianificazione centrale, ma anche per tutti i processi di produzione decentralizzati in cui è necessario operare a fronte di vincoli di risorse. Le autorità centrali possono stabilire le condizioni di prezzo per i costi, lasciando a loro volta la scelta dei percorsi ottimali ai leader locali. All'interno dell'azienda, il metodo di "analisi delle attività" consente di organizzare il lavoro nel modo più efficace. Validità del Metodo di Programmazione Lineare Per valutare la validità del metodo, abbiamo considerato un problema economico simile a quello posto davanti a Kantorovich. Supponiamo che un'azienda produca legname e compensato. Per la loro fabbricazione, per unità di produzione viene utilizzato legno di abete rosso e abete. Tabella 1 - Ricavi da vendita e scorte di materie prime legname consumo di legname per unità di produzione Stock di materie prime legname segato compensato di abete quantità di produzione reddito per unità di produzione Facciamo un piano per la produzione di legname segato e compensato, che porta il massimo profitto: Lascia che il piano per la produzione - legname segato, - compensato. Allora il profitto sarà: Z(x)= max. Faremo restrizioni sulle scorte di materie prime: ;
4 Considerare graficamente il problema: D-dominio delle soluzioni al sistema di vincoli; ; le rette di livello Z(x)=c corrono perpendicolari al vettore c e su queste rette il valore del profitto è uguale. Quando la linea di livello si sposta nella direzione del vettore c, il valore del profitto aumenta e il valore più grande sarà al punto M. Punto M - l'intersezione delle linee Quindi, il profitto è massimo quando si producono 20 m di legname e 1200 m di compensato . Quando si considerano due prodotti, il metodo è semplice e può essere facilmente rappresentato come un grafico. Ma è anche applicabile a problemi di ordine superiore che coinvolgono tre o più prodotti. In questi casi, non possiamo utilizzare una soluzione grafica, ma Kantorovich ne ha sviluppata una algoritmica, con l'aiuto della quale è possibile ottenere soluzioni per approssimazione successiva: il metodo del simplesso. Tali problemi possono essere risolti con il metodo simplex utilizzando programmi per computer. Risolvere il problema utilizzando l'editor di fogli di calcolo Microsoft Office Excel: siamo quindi riusciti a trovare la soluzione ottimale utilizzando la programmazione lineare. Questa impresa può benissimo inserire i valori ottenuti in un piano per l'organizzazione delle attività di produzione per la produzione di compensato e legname. Da quanto sopra, ne consegue che grazie alle attività di Kantorovich e Koopmans, non solo la matematica, ma anche l'economia hanno acquisito una nuova sezione, abbastanza universale, conveniente e necessaria: la programmazione lineare, e quindi sono state gettate le basi per i metodi di ottimizzazione. L'invenzione della programmazione lineare aiuta a risolvere il problema principale dell'economia: l'allocazione ottimale di risorse limitate. I modelli di cui sopra, utilizzando la programmazione lineare, forniscono una scelta tra diverse soluzioni di tale opzione che massimizza l'output e non
5 L'eredità dei premi Nobel per l'economia: solo a livello di impresa, ma anche a livello macroeconomico. Dopotutto, il campo di applicazione del metodo è ampio e vario - nei compiti di uso razionale delle materie prime; organizzazione ottimale del trasporto; ottimizzazione della localizzazione delle imprese; pianificazione efficace di molti processi produttivi, ecc. Inoltre, la programmazione lineare è diventata una solida base per l'emergere di molti altri metodi che consentono di trovare l'ottimo per la produzione di qualsiasi complessità, qualsiasi sistema di vincoli. Riferimenti 1. Premi Nobel del XX secolo. Autore - Vasina LL, 2001 2. Metodi e modelli economici e matematici. Libro delle attività. Autori: R.I. Gorbunova RI, Makarov S.I., Ufimtseva LI, 2008 3. Johansen L., "Contributo di L.V. Kantorovich alla scienza economica", 1976 4. Kantorovich L.V., "Calcolo economico del miglior uso delle risorse", 1959. 5. Dovbenko M.V., Osik Yu. I., "Le teorie economiche moderne nelle opere dei Nobelisti", Mosca, 2011
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formulazione di problemi di programmazione lineare e loro soluzione mediante msexcel
Il momento della nascita della programmazione lineare è considerato il 1939, quando fu pubblicato l'opuscolo di Leonid Vitalievich Kantorovich "Metodi matematici di organizzazione e pianificazione della produzione". Poiché i metodi descritti da L.V. Kantorovich non erano molto adatti per il calcolo manuale e all'epoca non esistevano computer ad alta velocità, il lavoro di L.V. Kantorovich rimase quasi inosservato.
La programmazione lineare ha avuto la sua rinascita nei primi anni Cinquanta con l'avvento dei computer. Poi è iniziato l'entusiasmo generale per la programmazione lineare, che a sua volta ha causato lo sviluppo di altre sezioni della programmazione matematica. Nel 1975, l'accademico LV Kantorovich e il professor americano T. Koopmans hanno ricevuto il Premio Nobel per le scienze economiche per il loro "contributo allo sviluppo della teoria e all'uso ottimale delle risorse nell'economia".
Ci si è resi conto che era necessario imparare a risolvere i problemi di trovare gli estremi di funzioni lineari su poliedri definiti da disequazioni lineari. Su suggerimento di Koopmans, questa branca della matematica fu chiamata programmazione lineare.
Il matematico americano A. Danzig nel 1947 sviluppò un metodo specifico molto efficace per la soluzione numerica di problemi di programmazione lineare (era chiamato metodo del simplesso). Le idee di programmazione lineare nel corso di cinque o sei anni ottennero una distribuzione grandiosa nel mondo ei nomi di Koopmans e Dantzig divennero ampiamente conosciuti ovunque.
Problemi di pianificazione ottimale relativi alla ricerca dell'ottimo di una data funzione obiettivo (forma lineare) in presenza di vincoli sotto forma di equazioni lineari o disequazioni lineari sono legati a problemi di programmazione lineare.
Programmazione lineare- la sezione più sviluppata e utilizzata della programmazione matematica.
La gamma di problemi risolti utilizzando metodi di programmazione lineare è piuttosto ampia:
il problema dell'uso ottimale delle risorse nella pianificazione della produzione;
il problema delle miscele (pianificazione della composizione dei prodotti);
il problema di trovare la combinazione ottimale di diverse tipologie di prodotti per lo stoccaggio nei magazzini (gestione delle scorte o “problema zaino”);
compiti di trasporto (analisi dell'ubicazione dell'impresa, movimento di merci).
Il modello economico e matematico di qualsiasi problema di programmazione lineare comprende: una funzione obiettivo, il cui valore ottimo (massimo o minimo) deve essere trovato; restrizioni sotto forma di un sistema di equazioni lineari o disequazioni; requisito di non negatività delle variabili.
In generale, il modello è scritto come segue:
funzione obiettivo: F(x)= c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + cnxn → max(min) (1)
restrizioni:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n xn (≤ = ≥) b 1 ,
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn (≤ = ≥) b 2 , (2)
un m1 x 1 + un m2 x 2 + ... + un mn xn (≤ = ≥) b m ;
requisito di non negatività: x j ≥ 0, j = 1, 2,……, n (3)
In questo caso a ij , b i , c j (I = 1, 2, ….., m; j = 1, 2,……, n) - date costanti.
Il problema è trovare il valore ottimo della funzione (1) soggetto ai vincoli (2) e (3).
Viene chiamato il sistema di vincoli (2). limitazioni funzionali del compito e restrizioni (3) - diretto.
Un vettore che soddisfa i vincoli (2) e (3) è chiamato soluzione ammissibile (piano) di un problema di programmazione lineare. Viene chiamato il piano sotto il quale la funzione (1) raggiunge il suo valore massimo (minimo). ottimale.
I problemi di programmazione lineare possono essere risolti manualmente, ad es. algebricamente e graficamente, oppure puoi usare MS Excel. Questo programma consente di risolvere rapidamente e facilmente problemi di programmazione lineare.
Analizziamo la soluzione di tali problemi su un esempio specifico:
Nell'allevamento di pellicce possono essere coltivate volpi nero-marroni e volpi artiche. Per garantire condizioni normali per la loro coltivazione, vengono utilizzati tre tipi di mangime. La quantità di cibo per ciascuna specie che le volpi e le volpi artiche dovrebbero ricevere quotidianamente è mostrata nella tabella. Indica anche la quantità totale di mangime di ciascuna specie che può essere utilizzata dall'allevamento di pellicce e il profitto dalla vendita di una pelle di volpe e volpe artica.
| Tipo di alimentazione | Quantità giornaliera di conv. unità | Quantità totale di mangime, c.u. | |
| Guadagna dalla vendita di una pelle, strofina. | |||
Determina quante volpi e volpi artiche dovrebbero essere coltivate in un allevamento di pellicce in modo da massimizzare il profitto dalla vendita delle loro pelli.
Scriviamo il modello matematico:
X pezzi - volpi, Y pezzi - volpi artiche
16x+12 anni - max (1)
La soluzione di questo problema si riduce analiticamente a risolvere un sistema di tre disuguaglianze (2-4), esprimendo il valore di una variabile attraverso un'altra, si ottiene:
x 90 - 1,5 anni
4(90 - 1.5y) + y 240
6(90 - 1,5 anni) + 7 anni 426
x 1 54 x 2 4.5
y 1 24 y 2 57
inoltre x 2 e y 2 non soddisfano la soluzione, perché il numero di animali non può essere un numero frazionario.
Pertanto, la funzione obiettivo sarà pari a: 1152
Tuttavia, con l'aiuto di MS Excel la soluzione è molto più semplice e veloce.
Per risolvere il problema in MS Excel, è necessario creare una tabella con i dati iniziali (Fig. 1)
Fig.1 - Tabella con i dati iniziali (problema di ottimizzazione della produzione)
Quindi, utilizzando le funzioni integrate di MS Excel (=SUMPRODUCT), introduci le restrizioni e la funzione obiettivo (Fig. 2)
Riso. 2 - vincoli e funzione obiettivo
Dopo aver inserito tutte le restrizioni e la funzione obiettivo, è necessario utilizzare il programma MS Excel integrato Trovare una soluzione(Fig. 3), che introduce anche la funzione obiettivo, i vincoli e le celle variabili (cioè variabili sconosciute).
Riso. 3 - Trovare una soluzione
Tuttavia, prima di procedere con la soluzione, è necessario anche nella scheda opzioni cercare una soluzione da impostare: modello lineare, valori non negativi e ridimensionamento automatico (Fig. 4)
Riso. 4 - Opzioni per trovare una soluzione
Dopo aver completato l'inserimento di tutte le restrizioni e parametri, otteniamo la soluzione desiderata al problema (Fig. 5)
Riso. 5 - Tavolo finale, con la soluzione risultante
In pratica molti parametri economici (prezzi dei prodotti e delle materie prime, scorte di materie prime, domanda di mercato, salari, ecc.) cambiano i loro valori nel tempo. Pertanto, la soluzione ottimale del problema LP ottenuta per una specifica situazione economica, dopo il suo cambiamento, può rivelarsi inadatta o non ottimale. A questo proposito, si pone il problema dell'analisi di sensitività del problema LP, ovvero come eventuali modifiche dei parametri del modello originale influiranno sulla soluzione ottima precedentemente ottenuta.
I vincoli vincolanti passano per il punto ottimale. I vincoli non vincolanti non passano per il punto ottimale. Una risorsa rappresentata da un vincolo vincolante è chiamata risorsa scarsa e una risorsa rappresentata da un vincolo non vincolante è chiamata non scarsa. Un vincolo si dice ridondante se la sua esclusione non pregiudica la gamma delle soluzioni ammissibili e, di conseguenza, la soluzione ottima.
Si distinguono i seguenti tre compiti di analisi di sensitività.
1. Analisi di riduzione o aumento delle risorse:
1) di quanto si può aumentare o diminuire l'offerta di una risorsa scarsa per migliorare il valore ottimale del filtro digitale?
2) di quanto si può ridurre o aumentare lo stock di una risorsa non carente mantenendo il valore ottimale ottenuto del filtro digitale?
2. Un aumento (diminuzione) dello stock di quale delle risorse è più redditizia?
3. Analisi della variazione dei coefficienti target: qual è il range di variazione dei coefficienti del filtro digitale, in cui la soluzione ottima non cambia?
MS Excel permette di fare un report sui risultati, che si compone di 3 tabelle:
1 - Cella bersaglio. Visualizza il valore iniziale della funzione obiettivo e il valore ottimale (risultato).
2- Celle modificabili. Riflette i valori iniziali delle variabili e i valori (ottimali) risultanti. Se il prodotto non è incluso nella soluzione ottimale (uguale a 0), allora è considerato non redditizio.
3- Restrizioni. Oltre al nome del vincolo, la cella in cui è scritto il lato sinistro del vincolo contiene le seguenti colonne:
Valore - il valore del lato sinistro del vincolo per il piano ottimale. Quelli. quanta risorsa viene effettivamente utilizzata.
Formula: visualizza il segno del limite (maggiore o uguale a, minore o uguale a, ecc.)
Stato - Viene visualizzato il vincolo associato o non associato. Se lo stato è associato, la risorsa è completamente utilizzata. Se lo stato non è connesso, la risorsa non è completamente utilizzata.
Differenza: viene visualizzata la quantità della risorsa rimanente inutilizzata.
Oltre a un rapporto di sostenibilità, che si compone di 2 tabelle:
1 - celle modificabili. Oltre ai nomi delle variabili e agli indirizzi delle celle, contiene colonne:
Il valore risultante è il piano ottimale.
Costo normalizzato (ridotto): mostra quanto cambierà la funzione obiettivo dopo l'inclusione forzata di un'unità di questo prodotto nel piano ottimale. Se il prodotto è redditizio, il costo livellato sarà 0.
Coefficiente obiettivo: i valori dei coefficienti della funzione obiettivo.
Aumento consentito, diminuzione consentita: mostra i limiti delle variazioni dei coefficienti della funzione obiettivo, in cui viene preservato l'insieme di variabili incluse nella soluzione ottima.
2 - Restrizioni. Oltre ai nomi delle variabili e agli indirizzi delle celle, contiene colonne:
Il valore risultante è il valore del lato sinistro del vincolo per il piano ottimale. Quelli. quanta risorsa viene effettivamente utilizzata.
Il prezzo ombra è un cambiamento nella funzione obiettivo quando una risorsa scarsa cambia di 1 unità. Il prezzo ombra di una risorsa non scarsa sarà 0.
Vincolo Il lato destro è lo stock della risorsa.
Aumento consentito, diminuzione consentita: mostra quanto è possibile modificare il lato destro del vincolo finché non influisce sulla funzione obiettivo.
La comodità di utilizzare MS Excel per risolvere problemi di programmazione lineare è che:
dopo aver creato una tabella una volta, può essere utilizzata per attività dello stesso tipo modificando solo i dati iniziali;
tutte le formule necessarie per risolvere il problema sono già presentate in MS Excel;
risolvere il problema richiede molte volte meno tempo rispetto a risolverlo manualmente;
l'accuratezza della soluzione è molto più elevata rispetto a quella manuale e gli errori sono ridotti al minimo.
L'unico svantaggio di risolvere problemi di programmazione lineare con MS Excel può essere: la mancanza di una soluzione completa, ovvero la ricerca di una soluzione dà subito una risposta pronta, senza mostrare tutti i calcoli, che, in linea di principio, non è l'obiettivo della soluzione del problema.
Bibliografia:
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Popova N.V. Metodi matematici // M.: VTK. – 2005
Lykova NP, Knyazeva UNA DICHIARAZIONE DEI PROBLEMI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE E LORO SOLUZIONE UTILIZZANDO MS EXCEL // Archivio elettronico scientifico.
URL: (data di accesso: 26/12/2019).
Uno degli obiettivi dei capitoli precedenti è stato quello di trovare una via d'uscita a questa ambiguità e di collegare strettamente la teoria dei prezzi con la teoria del valore. Ritengo sbagliato dividere l'Economia in Teoria del Valore e della Distribuzione, da un lato, e Teoria della Moneta, dall'altro. Il vero confine, a mio avviso, deve trovarsi tra la Teoria dell'Industria o Impresa Separata, che si occupa della remunerazione dei fattori e della distribuzione delle risorse tra diverse modalità di utilizzo di una determinata quantità di essi, e la Teoria della Produzione e dell'Occupazione in generale. Finché ci limitiamo allo studio di una particolare industria o impresa, assumendo una quantità totale costante di risorse impiegate, e anche temporaneamente supponendo che le condizioni in altre industrie o imprese rimangano invariate, non dobbiamo davvero affrontare le specificità di i soldi. Ma non appena iniziamo a scoprire cosa determina il volume della produzione e l'occupazione in generale, abbiamo bisogno di una teoria completa dell'economia monetaria.
Secondo Smith, l'automatismo di mercato può ottimizzare l'allocazione delle risorse. In contrasto con la credenza popolare che l'interesse privato sia contrario all'interesse pubblico, Smith ha dimostrato che il decentramento e la libera concorrenza possono garantire la massima soddisfazione dei bisogni. La libera concorrenza cerca di equiparare i prezzi ai costi di produzione, ottimizzando la distribuzione delle risorse all'interno delle industrie e nei mercati dei fattori, per equalizzare i vantaggi netti di questi fattori in tutte le industrie e quindi stabilire la distribuzione ottimale delle risorse tra le industrie. Questo è stato il primo passo verso la teoria dell'ottimizzazione dell'allocazione delle risorse in concorrenza perfetta.
Allo stesso tempo, va tenuto conto che l'utile, come accennato in precedenza, ha, in primo luogo, due definizioni (in contabilità e in teoria economica), e in secondo luogo, diversi valori di profitto come reddito implicito percepito dall'impresa attraverso l'utilizzo dei propri fattori di profitto di produzione come ricompensa del rischio imprenditoriale e di innovazione (che è inclusa nei costi economici) profitto come reddito di monopolio in condizioni di concorrenza imperfetta. Ciascuno dei suddetti valori di profitto è dovuto alla varietà delle sue fonti, tra cui, rispettivamente, l'uso alternativo dei costi opportunità, l'incertezza nell'ambiente economico e l'innovazione, la presenza di potere di mercato o di monopolio sul prezzo. Il profitto, quindi, agisce come una sorta di catalizzatore per lo sviluppo dell'economia, un incentivo alla distribuzione razionale delle risorse, un incentivo all'accumulazione del capitale.
Tra le classi di problemi più importanti I.o. possiamo nominare i problemi di gestione dell'inventario, allocazione delle risorse e problemi di assegnazione (problemi di distribuzione), problemi di coda, problemi di sostituzione delle apparecchiature, ordinazione e coordinamento (inclusa la teoria della pianificazione), contraddittorio (ad esempio, giochi), problemi di ricerca, ecc. Tra questi metodi utilizzati: programmazione matematica (lineare, non lineare, ecc.), equazioni differenziali e differenziali, metodi della teoria dei grafi, processi di Markov, teoria dei giochi, teoria delle decisioni (statistiche), teoria del riconoscimento di modelli e molti altri.
M. è talvolta chiamata la teoria dei prezzi, poiché il suo oggetto è il meccanismo di distribuzione delle risorse e, in un'economia di mercato, i prezzi fungono da strumento principale per tale distribuzione.
In uno di essi, il lavoro di L.V. Kantorovich "Metodi matematici di organizzazione e pianificazione della produzione" (1939), furono enunciati per la prima volta i principi di una nuova branca della matematica, che in seguito divenne nota come programmazione lineare, e se si guarda più in generale , ciò ha posto le basi fondamentali per la teoria economica dell'allocazione ottimale delle risorse. LV Kantorovich formulò chiaramente il concetto di ottimo economico e introdusse nella scienza l'ottimo, l'obiettivo
Regola dell'effetto identità" 280 Teoria "pre-istituzionale" dell'allocazione delle risorse 301 "Strumento" 138 Criterio ottimale 71 Imprese "prezzatrici" 390 "Principio della ragione insufficiente" 112 "Natura" 281 "Matrice produttiva" 189
Le teorie dell'allocazione delle risorse e della generazione di reddito nel libro di testo dell'analisi microeconomica sono presentate nella sezione sui mercati per la produzione di fluoro. Il piano generale per considerare i problemi in questo momento non è rimasto invariato dalla pubblicazione del libro di A. Marsh, Principi di teoria economica, mercato del lavoro, mercato dei capitali e terra rii. La domanda di fattori da parte delle imprese è tradizionalmente associata al prodotto marginale di questi fattori e l'offerta è associata al reddito unitario atteso. Tradizionalmente, i libri di testo considerano la domanda elastica per ciascun fattore, che dipende sia dalla sostituibilità che dalla complementarità dei fattori da parte della tecnologia.
O forse potremmo fare una distinzione tra la teoria dell'equilibrio stazionario e la teoria dell'equilibrio mobile, intendendo con quest'ultima la teoria di un sistema in cui le idee mutevoli sul futuro possono influenzare la situazione presente. L'importanza del denaro deriva principalmente dal fatto che è l'anello di congiunzione tra il presente e il futuro. Possiamo analizzare quale distribuzione delle risorse tra usi diversi sia compatibile con un equilibrio sotto normali motivi economici in un mondo in cui le nostre idee sul futuro sono fisse e sotto tutti gli aspetti affidabili, e un'ulteriore divisione tra un'economia che non cambia e un'economia che è soggetto a modifiche è possibile, ma dove tutti gli eventi sono previsti fin dall'inizio. D'altra parte, possiamo passare da questo modello semplicistico a problemi del mondo reale, dove le nostre proiezioni per il futuro potrebbero non essere fattibili e dove le ipotesi sul futuro influenzano ciò che facciamo oggi. È quando facciamo questo passaggio che il denaro, con le sue speciali proprietà di collegamento tra presente e futuro, deve entrare nei nostri calcoli. Ma sebbene la teoria dell'equilibrio in movimento debba necessariamente essere espressa in termini di economia monetaria, rimane una teoria del valore e della distribuzione, e non una "teoria della moneta" separata. Il denaro, per sua stessa natura, è soprattutto un ingegnoso mezzo di comunicazione tra il presente e il futuro. Pertanto, anche solo per iniziare a chiarire l'impatto del cambiamento delle idee sul futuro sulle nostre attività attuali non può essere che in termini di denaro. Non possiamo sbarazzarci del denaro anche se distruggiamo oro, argento e altre monete aventi corso legale. I problemi specifici dell'economia monetaria continueranno a sorgere finché ci saranno JAKFIB durevoli in grado di assumere la funzione di
Il coronamento dell'approccio assiomatico è la teoria della concorrenza perfetta. Nonostante sia stato proposto per la prima volta circa duecento anni fa, non è mai stato superato, solo il metodo di analisi è stato migliorato. La teoria afferma che in determinate circostanze molto specifiche porta a un desiderio illimitato di soddisfare i propri interessi. Il punto di equilibrio si raggiunge quando il livello di produzione dell'impresa è tale che il costo marginale è uguale al prezzo di mercato del bene, e ogni consumatore, quando acquista, riceve una quantità di bene tale che la sua "utilità" marginale totale è uguale al suo prezzo di mercato. La ricerca mostra che lo stato di equilibrio massimizza i benefici di tutti i partecipanti, a condizione che nessun acquirente o venditore possa influenzare i prezzi di mercato. È questo modo di ragionare che è servito come base teorica per la politica del laissez faire che ha dominato il diciannovesimo secolo, e serve anche come base per le idee moderne sul "potere magico del mercato".
Il sistema capitalista mondiale è sostenuto da un'ideologia che è radicata nella teoria della concorrenza perfetta. Secondo questa teoria, i mercati tendono all'equilibrio e la posizione di equilibrio significa l'allocazione più efficiente delle risorse. Qualsiasi restrizione alla libertà di concorrenza riduce l'efficacia del meccanismo di mercato, quindi dovrebbe essere contrastata. Ho descritto questo approccio come ideologia del libero mercato (laissezfaire), ma fondamentalismo di mercato è un termine migliore. Il fatto è che il fondamentalismo presuppone un tipo di fede facile da portare agli estremi. È la fede nella perfezione, la fede nell'assoluto, la convinzione che ogni problema debba avere una soluzione. Il fondamentalismo presuppone la presenza di un'autorità con perfetta conoscenza, anche se questa conoscenza non è disponibile per i comuni mortali. Dio è una tale autorità, e nel nostro tempo la Scienza è diventata un sostituto accettabile per essa. Il marxismo pretendeva di avere una base scientifica, e così pure il fondamentalismo di mercato. La base scientifica di entrambe le ideologie si è sviluppata nel 19° secolo, quando la scienza prometteva ancora il possesso della verità ultima. Da allora, abbiamo capito molto
Pop Per ha attaccato il marxismo e la psicoanalisi freudiana sulla base del fatto che queste teorie, come molte altre, affermavano di essere scientifiche, ma che non potevano essere dimostrate false mediante test, quindi le loro affermazioni erano infondate. Sono d'accordo con questo, ma andrò ancora oltre. Penso che l'argomento che ha usato contro il marxismo si applichi anche a teorie molto rispettate come la teoria della concorrenza perfetta, che proclama che, in determinate condizioni, il perseguimento illimitato dell'interesse personale porta alla più efficiente allocazione delle risorse. Non voglio distruggere l'economia, penso che sia un costrutto teorico molto elegante. Metto in dubbio la sua applicabilità alla vita reale e non sono sicuro che resisterà alla prova dei mercati finanziari. Credo che l'attività del Quantum Fund di per sé dimostri la falsità della teoria delle passeggiate casuali.
Il fondatore di questa teoria è il filosofo inglese I. Bentham (1748-1832), che lo credette. la filosofia non ha occupazione più degna che sostenere l'economia nella vita di tutti i giorni. Per gli utilitaristi, il piacere è l'obiettivo di ogni azione e l'etica si riduce all'allocazione ottimale delle risorse per l'obiettivo del massimo piacere. Ne sono convinti
D.r. - il concetto fondamentale della moderna scienza economica, introdotto per la prima volta nella scienza domestica dai sostenitori
ISSN 1992-6502 (Stampa)_
2014. V. 18, n. 1 (62). pp. 186-197
QjrAQnQj
ISSN 2225-2789 (Online) http://journal.ugatu.ac.ru
UDC 621.35, 004.02
Teoria dell'utilizzo ottimale delle risorse di L. V. Kantorovich nei problemi di confezionamento: revisione e storia dello sviluppo di metodi di soluzione
Yu. I. Valiakhmetova, a. S. Filippova
1 Università statale agraria del Bashkir (BSAU) 2 Università pedagogica statale del Bashkir. M. Akmulla (BSPU)
Ricevuto il 04.02.2014
Annotazione. Vengono forniti esempi di affermazioni di problemi di taglio e confezionamento, la cui rilevanza è confermata dalla loro diversità e versatilità di significato applicato. Fondamentali per lo sviluppo di metodi per risolvere tali problemi sono state le opere di L. V. Kantorovich. Viene fornita una rassegna dei metodi per risolvere i problemi classici del confezionamento da taglio sviluppati da scienziati sovietici e russi negli ultimi 80 anni, comprese le scuole scientifiche dell'URSS e della Russia. Vengono fornite brevi descrizioni dei metodi e la storia del loro sviluppo.
Parole chiave: taglio; pacchetto; uso razionale delle risorse; ottimizzazione; metodi esatti; metodi euristici, algoritmi
Dedicato al 100° anniversario della nascita del premio Nobel L. V. Kantorovich
INTRODUZIONE
Il contributo fornito dal notevole e talentuoso scienziato Leonid Vitalievich Kantorovich in vari campi della matematica e dell'economia è stato di grande importanza nello sviluppo della risoluzione dei problemi di produzione applicata. Inoltre, il suo concetto di modello economico ottimale a livello macroeconomico ha ancora un grande potenziale. E nel discorso del professore svedese Ragnar Bentzel, che pronunciò nel 1975, presentando i vincitori del Premio Nobel per l'economia L.V. Kantorovich e T. Koopmans, il significato universale del concetto per qualsiasi economia, indipendentemente dalla sua forma socio-politica, era nota: l'offerta di risorse produttive è ovunque limitata, ogni società si trova ad affrontare una serie di problematiche legate all'uso ottimale delle risorse disponibili e ad un'equa distribuzione del reddito tra i cittadini. Il punto di vista da cui si possono considerare tali questioni normative non dipende dall'organizzazione politica della società in questione. Pertanto, ricerca e sviluppo di metodi
Questo lavoro è stato supportato dalla sovvenzione RFBR 12-07-00631-a.
soluzioni ai problemi dell'uso razionale delle risorse sono rilevanti ai giorni nostri.
1. METODI DI BASE
UTILIZZO OTTIMALE DELLE RISORSE
Un ruolo fondamentale nella formazione e nello sviluppo della teoria dell'uso ottimale delle risorse e della programmazione lineare fu svolto dall'opuscolo pubblicato dal professor L. V. Kantorovich nel 1939, che considerava vari problemi pratici di organizzazione della produzione, in cui era necessario trovare il meglio soluzione. Il libro è stato scritto dopo aver consultato i dipendenti del Plywood Trust sulle questioni relative alla risoluzione di problemi che all'epoca non potevano essere risolti con i metodi tradizionali. L. V. Kantorovich ha proposto il metodo di risoluzione dei fattori (indici), che stabilisce la possibilità fondamentale di trovare la soluzione migliore per molti problemi dell'economia nazionale, compreso il problema del taglio di massa. Nonostante la vasta gamma di interessi scientifici, negli anni successivi, L. V. Kantorovich è tornato ripetutamente sul problema del taglio razionale, ad esempio.
Negli anni '30. del secolo scorso, furono gettate le basi per la teoria del taglio delle materie prime delle segherie, il cui fondatore fu H. L. Feldman. Ha proposto un approccio matematico per
risolvendo il problema delle posizioni massime durante il taglio di tronchi. Insieme ai suoi seguaci, ha creato un sistema incentrato sulla massimizzazione della resa volumetrica e qualitativa del legname da taglio. L'esatto schema matematico della soluzione non teneva pienamente conto delle condizioni reali, come le caratteristiche qualitative delle materie prime e dei prodotti segati, quindi i risultati nella pratica potrebbero essere errati. Successivamente, V. A. Zalgaller sviluppò un metodo grafico per la compilazione di insiemi massimi, basato sul segno geometrico di un estremo. Il metodo proposto da V. A. Zalgaller ha permesso di avvicinare la teoria delle consegne massime alle condizioni di produzione.
La teoria sviluppata e migliorata, tuttavia, non è ancora in grado di dare una risposta a molti problemi della tecnologia di segheria, e quindi il suo ulteriore miglioramento è rilevante. Tra le ragioni principali di questo fenomeno vi sono: il progresso tecnico, i cambiamenti nelle caratteristiche dimensionali e qualitative delle materie prime segate che entrano nel taglio e la sua composizione rocciosa, l'inasprimento dei requisiti ambientali, i cambiamenti negli standard esistenti per le materie prime e i prodotti segati.
2. VARIETÀ DI TAGLIO E IMBALLAGGIO
Le attività di taglio sono un importante problema tecnologico, la cui soluzione ottimale consente di ridurre al minimo il consumo delle risorse disponibili. Questi sono compiti come:
Taglio di materiale lineare;
Taglio longitudinale di nastri e rotoli;
Taglio di fogli in spazi rettangolari;
Utilizzo di materiali di lunghezza mista;
Taglio per prodotti seriali e non;
Imballaggio di contenitori 3D;
Taglio di spazi vuoti ricci;
Posizionamento dei cerchi;
Copertura geometrica di aree con ostacoli da elementi di varia forma;
Il problema della scelta delle migliori dimensioni del materiale per il taglio successivo;
Imballaggio/rivestimento con elementi di dimensioni casuali,
e molti altri.
Compiti simili si incontrano nella pratica nell'ingegneria meccanica, nella metallurgia, nella lavorazione del legno.
industria manifatturiera e dell'abbigliamento, industria della cellulosa e della carta, ecc.
Molti compiti che a prima vista non appartengono alla classe dei problemi di taglio e imballaggio alla fine si riducono a loro. Ad esempio, problemi di pianificazione, problemi di instradamento, problemi di scomposizione per poligoni ortogonali multipli collegati e molti altri problemi applicati.
Se il valore della risorsa tagliata è elevato, in pratica si considerano anche le attività residue: si cerca di utilizzare il materiale di scarto derivante dalla risoluzione di precedenti compiti di taglio, confezionamento o copertura geometrica.
Le attività di taglio, imballaggio o rivestimento possono verificarsi come collegamento intermedio in altre attività o alternarsi all'interno di un'attività. Ad esempio, possiamo considerare un problema logistico, in cui a ciascun veicolo viene assegnato un percorso per i consumatori e un insieme di merci corrispondente a questi consumatori. Quindi la ricerca del percorso di ciascun veicolo, oltre a trovare un piano per il deposito delle merci nel vano di carico, sono compiti della classe taglio-imballaggio. Inoltre, al momento del posizionamento della merce, puoi tenere conto dell'ordine del veicolo, in modo che la merce destinata all'ultimo cliente venga caricata per prima.
Ciascuna delle aree tematiche introduce i propri requisiti aggiuntivi nel modo di risolvere i problemi e, di conseguenza, nel modo di adattare algoritmi noti.
Questo articolo fornisce una breve panoramica dei metodi per risolvere i classici problemi di taglio e confezionamento sviluppati dagli scienziati sovietici e russi negli ultimi 80 anni. Le attività di taglio e confezionamento (C&P) sono intese come un'ampia classe di problemi che consentono varie interpretazioni applicate. Questi includono le seguenti attività:
Taglio del materiale (durante il taglio di determinati pezzi, riduzione al minimo del materiale di partenza);
Posizionamento denso di oggetti geometrici in una determinata area (posizionamento di merci, merci in un magazzino, ecc.);
Imballaggio di contenitori (posizionamento di articoli in un'area limitata);
Scelta dell'assortimento (scelta al momento dell'ordine una taglia tra quelle standard);
Disposizione dei locali (massimizzazione delle aree utili durante la pianificazione tenendo conto dei requisiti tecnologici);
Garantire il ritmo del processo produttivo (problemi di schedulazione, schedulazione di sistemi multiprocessore);
Distribuzione delle capacità di produzione (allocazione della memoria del computer);
Problema di impostazione in segheria (posizione delle seghe quando si sega un tronco in tavole di diverso spessore, scelta del numero di seghe per massimizzare la resa);
Taglio del tronco in lunghezza (massimizzazione della produzione quando si taglia il tronco in assortimenti rotondi);
Taglieri (tagliati in pezzi grezzi più vicini al prodotto finale; aggira i difetti e massimizza la capacità cubica totale o il prezzo commerciale totale);
Taglio del materiale in fogli in grezzi casuali (taglio del materiale tenendo conto del ritardo nella produzione di grezzi);
Copertura geometrica massima (minima) (disposizione del numero minimo di apparecchiature in una determinata area), ecc.
Ciascuno di essi, a sua volta, può essere specificato in vari modi.
Comune ai problemi di questa classe è la presenza di due gruppi di oggetti. La corrispondenza è stabilita e valutata tra gli elementi di questi gruppi. Esistono problemi di taglio-packaging lineare (unidimensionale), rettangolare (bidimensionale) e parallelepipedo (tridimensionale). Tra questi compiti spiccano il taglio e il confezionamento a ghigliottina. Particolarmente evidenziati sono i problemi di nidificazione: il posizionamento di parti di forme geometriche complesse in aree specificate. Per loro vengono in primo piano problemi informativi di impostazione delle figure, contabilità e garanzia della loro non intersezione, codifica, ecc.. L'elenco delle proprietà geometriche dei pezzi e del materiale può essere integrato e preso in considerazione nel modello matematico da alcuni elementi fisici e / o indicatori economici. Viene fornita una classificazione dettagliata dei principali modelli di attività C&P in Russia.
Negli anni '40. i metodi per risolvere i problemi di nidificazione erano rivolti principalmente a problemi di produzione di massa, dove l'integrità dei risultati può essere trascurata. Il metodo proposto da L. V. Kantorovich per risolvere tali problemi ha permesso di trovare il taglio ottimale, tuttavia la laboriosità del processo di soluzione manuale ha richiesto l'adattamento alle condizioni di produzione e il miglioramento dell'apparato matematico computazionale. Era questo numero che era principalmente dedicato agli sviluppi scientifici dei seguaci e dei collaboratori di L. V. Kantorovich fino agli anni '50-'60. Inoltre, è diventato possibile implementare algoritmi su un computer. I programmi hanno consentito di trovare piani ottimali per il taglio di materiali lineari dimensionali e piani ottimali per il taglio di lastre rettangolari in grezzi rettangolari. Dagli anni '70. un'attenzione particolare dei ricercatori in questo settore è stata rivolta alla soluzione dei problemi della produzione singola e della piccola scala.
Per la prima volta, i problemi del taglio sono stati elaborati in dettaglio da L. V. Kantorovich insieme a V. A. Zalgaller nel Dipartimento di Leningrado dell'Istituto di matematica dell'Accademia delle scienze dell'URSS negli anni '40. . Una prova pratica del successo delle soluzioni matematiche da loro sviluppate è stata effettuata presso le opere di trasporto di Leningrado nel 1948-1949. In considerazione delle esigenze tecnologiche e della complessità del calcolo del metodo di risoluzione dei fattori, si è lavorato molto per sviluppare e adattare l'apparato matematico alla realtà produttiva dell'epoca introducendo nuovi metodi di calcolo e tecnologici. Quindi, V. A. Zalgaller ha sviluppato un metodo per selezionare indici interi, ha proposto una soluzione a un problema piatto utilizzando un problema lineare ausiliario, metodi per tagliare materiale di lunghezza mista e vari dispositivi tecnici. Tutti i metodi sviluppati e praticamente testati di quel periodo, la metodologia per il loro utilizzo furono descritti nel libro "Taglio razionale dei materiali industriali", pubblicato all'inizio del 1951. I problemi di taglio sono stati considerati dagli autori come esempi di applicazione della programmazione lineare (Programmazione lineare, LP). Quando si risolvono le attività di nidificazione, il modello LP viene utilizzato con informazioni specificate in modo implicito sull'annidamento (colonne matrice). In effetti, questo libro era un rapporto sull'attuazione pratica di successo nel 1948-1949. programmazione lineare per la risoluzione di problemi industriali. Le prime pubblicazioni estere dedicate all'LP,
risalgono al 1949. I principali calcoli riportati nel libro sono stati eseguiti a mano. Per superare le difficoltà associate alla costruzione di schemi di taglio validi, gli autori hanno proposto tecniche che, in sostanza, anticipavano le idee di programmazione dinamica.
Per risolvere il problema della generazione della nidificazione, sono stati sviluppati metodi basati sulla programmazione dinamica per il problema della nidificazione lineare, per la nidificazione a ghigliottina - un metodo a griglia per la generazione di nidi con un punteggio massimo che considera l'intera tabella dell'indice. I. V. Romanovsky ha proposto un metodo di incollaggio limitato agli stati corrispondenti ai salti. Successivamente, EA Mukhacheva ha sviluppato metodi condizionali per generare tagli in ogni fase del processo di programmazione lineare, tenendo conto delle specificità della produzione reale. A quel tempo, l'obiettivo principale di questi e molti altri lavori era l'applicazione della programmazione lineare nel campo dei problemi di produzione. Questo obiettivo è stato raggiunto in una certa misura nelle condizioni di produzione di massa e batch.
3. ATTIVITÀ DELLE SCUOLE SCIENTIFICHE SOVIETICHE NELLO STUDIO DEI PROBLEMI DEL CUT-PACKING
Indubbiamente, questa direzione è stata sviluppata e ampiamente utilizzata con l'avvento dei computer: ad esempio, la prima implementazione software su un computer del metodo della scala dell'indice. Nel metodo e nel programma per la soluzione razionale di un problema lineare di massa è dato, impiegando un tempo accettabile per il calcolo. Calcolo di mappe razionali per il taglio di fogli rettangolari negli anni '60. per un gran numero di spazi vuoti (più di 60) non era praticamente possibile. E gli esempi di dimensioni più piccole richiedevano molte ore di programmi per computer.
Da qui l'uso dei computer per risolvere e studiare il problema del taglio di massa nei primi anni '60. del secolo scorso fu il primo passo per l'emergere della scuola scientifica Ufa sotto la guida di E. A. Mukhacheva. Elita Alexandrovna Mukhacheva nel 1962 è entrata nel corso post-laurea della città accademica di Novosibirsk dell'Istituto di matematica della filiale siberiana dell'Accademia delle scienze dell'URSS nel dipartimento del creatore della teoria della programmazione lineare Leonid Vitalievich Kantorovich e gli è stato affidato il compito di sviluppando un programma per il taglio in massa del materiale, il risultato è descritto in.
La priorità di L.V. Kantorovich in questo campo era già stata riconosciuta nel mondo, era responsabile del Dipartimento di Matematica ed Economia. Un impiegato del dipartimento, uno studente e collega di L. V. Kantorovich, dottore in scienze fisiche e matematiche G. Sh. Rubinshtein divenne consulente scientifico di Elita Aleksandrovna. All'inizio del 1967 ha discusso la sua tesi "Metodi numerici per la risoluzione di alcune classi di problemi di programmazione lineare" per il grado di Candidato in Scienze fisiche e matematiche1. Da allora, la ricerca attiva in questo settore è stata condotta presso l'Università tecnica dell'aviazione statale di Ufa.
Per i problemi di produzione dei pezzi, che sono problemi di ottimizzazione intrinsecamente discreti, la soluzione LP è una semplificazione che consente di ottenere un risultato vicino all'ottimo, con restrizioni aggiuntive che sorgono nella produzione in serie e in serie. In futuro, i problemi C&P sono stati considerati senza questa semplificazione, come problemi applicati ai problemi combinatori nella ricerca operativa. I problemi C&P sono tipici rappresentanti dei problemi NP-hard. Data la complessità non polinomiale degli algoritmi esatti per problemi C&P, gli autori di molti lavori prestano ancora notevole attenzione ai metodi approssimati e, quando sviluppano algoritmi esatti, alle procedure per ridurre l'enumerazione esaustiva e calcolare i limiti inferiori.
Quando si risolvono problemi C&P, è necessario ridurre al minimo il materiale utilizzato (quantitativo
1 Nel 1983, E. A. Mukhacheva (1930-2011) ha difeso la sua tesi di dottorato "Problemi applicati di ottimizzazione combinatoria, in particolare il problema del taglio e dell'imballaggio" ed è diventata la prima dottoressa in scienze presso l'UAI (Ufa Aviation Institute). Mentre lavorava alla sua tesi, si è consultata con L. V. Kantorovich, V. A. Zalgaller e nella città accademica di Novosibirsk. Su 59 anni di lavoro presso la Ufa Aviation University (UAI, USATU), ha diretto dipartimenti per 34 anni. Il significato scientifico delle opere di E. A. Mukhacheva e dei suoi studenti è colossale. Studenti, dottorandi, scienziati del nostro paese hanno studiato programmazione matematica, metodi matematici di ricerca operativa, teoria e metodi di calcolo nei problemi di taglio e confezionamento secondo libri di testo, monografie e articoli scritti da E. A. Mukhacheva. Molti dei suoi seguaci fino ad oggi continuano a svilupparsi in Russia e all'estero. I risultati di numerosi lavori sono stati implementati, ad esempio, nello stabilimento di Kirov (Leningrado), nella produzione di trattori nello stabilimento meccanico di Izhevsk, nel complesso aeronautico di Ulyanovsk, ecc.
in, area o volume). In questo caso, il valore ottimale sarà maggiore o uguale al limite inferiore e minore o uguale al limite superiore.
Con l'aiuto dei limiti, viene valutata la soluzione ottenuta con un metodo o con l'altro. Il limite superiore, ad esempio, ottenuto approssimativamente con qualsiasi metodo euristico e affinato nel corso dei calcoli, viene utilizzato nel metodo branch and bound per ridurre l'insieme dei nodi visualizzati dell'albero decisionale: nodi con una stima non inferiore a quella superiore vincolati vengono eliminati.
Quando si risolvono problemi utilizzando metodi esatti, l'uso dei limiti può ridurre il tempo di esecuzione dell'algoritmo. Quindi, più tempo dell'algoritmo esatto viene speso per dimostrare l'ottimalità della soluzione trovata, possibilmente ottenuta già all'inizio dei calcoli. Per questa fase, il limite inferiore è molto importante, il cui valore dovrebbe essere il più vicino possibile all'optimum. Il problema del calcolo dei limiti inferiori rimane il principale nello sviluppo di metodi esatti efficienti per risolvere i problemi di C&P. Limiti inferiori affinabili sono di particolare interesse per i calcoli; consentono di eliminare rapidamente soluzioni parziali "deboli" o semplicemente di interrompere i calcoli quando si ottiene un risultato sufficientemente buono. Viene proposto un metodo per costruire limiti inferiori basato sul rilassamento lineare. Si dimostra che il valore ottimo del problema originario può essere stimato risolvendo il corrispondente problema del taglio lineare. Viene proposto un perfezionamento di questo limite inferiore, utilizzando il metodo di fissazione di alcune variabili.
Tradizionali per i problemi C&P singoli sono i modelli matematici di programmazione lineare intera (ILP). Ma altri vanno notati, per esempio, quelli proposti all'inizio del 21° secolo: il modello matriciale è una rappresentazione di un impacchettamento rettangolare di due matrici binarie che caratterizza tutte le possibili intersezioni di rettangoli con sezioni dell'area del contenitore parallele agli assi delle coordinate ; un modello proposto da V. N. Markov, in cui un foglio di materiale è descritto da una sequenza raster di punti.
I metodi basati sul CLP si sono rivelati accettabili per risolvere i problemi del taglio lineare (unidimensionale) ea ghigliottina. Per quanto riguarda le classi di problemi di impacchettamento non a ghigliottina, gli algoritmi LP possono difficilmente essere considerati adatti per risolverli ora. Finora, per questi compiti, la maggior parte dei metodi di precisione esistenti
I metodi di soluzione sono ridotti all'enumerazione dell'intero insieme di soluzioni ammissibili. I metodi di enumerazione migliorati sono anche combinati per queste attività sotto il nome "metodo branch and bound". Già nel 1973 IV Romanovsky e NP Khristova proposero il metodo della dicotomia per risolvere problemi discreti di minimax. Per ottenere un limite inferiore per v, gli autori hanno proposto di utilizzare il rilassamento del problema, passando dall'insieme delle soluzioni ammissibili ad alcuni dei suoi sottoinsiemi.
Negli anni '60. a Kharkov, sotto la guida di V. L. Rvachev e Yu. G. Stoyan, sono in fase di sviluppo approcci per risolvere i problemi con gli spazi vuoti figurati. Per descrivere figure delimitate da un contorno di un numero finito di segmenti e archi di cerchio, viene introdotto un tipo speciale di funzioni R, che consentono di determinare se un punto appartiene a una figura mediante una disuguaglianza, il che rende possibile semplificare la verifica della non intersezione delle figure tra loro. La ricerca dei posizionamenti ottimali viene effettuata componendo un gran numero di posizioni casuali non sovrapposte, ciascuna delle quali viene poi traslata con il metodo del gradiente in una posizione localmente minima. Questo approccio è stato ulteriormente sviluppato. Utilizzate come mezzo di modellazione matematica e computerizzata, le funzioni R hanno dato un contributo significativo alla formalizzazione di problemi C&P 2D e 3D e allo sviluppo di metodi per la loro soluzione.
Va notato un contributo significativo alla teoria e alla pratica della modellazione del posizionamento di oggetti geometrici dalla scuola scientifica di Yu. G. Stoyan (Ucraina, Istituto di problemi di ingegneria meccanica dell'Accademia nazionale delle scienze). Alla fine degli anni '60. Sulla base dell'Ufa Aviation Institute, sotto la guida di E. A. Mukhacheva, sta emergendo un'altra scuola scientifica, in cui fino ad oggi sono attivamente coinvolti nei problemi di C&R, compresi i problemi con una forma arbitraria di pezzi. Dagli anni '60. studi sui problemi di taglio delle figure sono in corso presso la Gorky University, nel team di L. B. Belyakova, presso l'Istituto di cibernetica tecnica dell'Accademia delle scienze della BSSR, Minsk. Allo stesso tempo, in molte imprese industriali dell'URSS vengono utilizzati algoritmi semplificati per risolvere i problemi di taglio figurato con l'uso di computer.
Più revisione delle pubblicazioni prima degli anni '70. presentato nella seconda edizione rivista (1951) e terza (2012) del libro. La terza edizione è stata preparata con la partecipazione di V. A. Zalgaller.
condizioni sociali relative a vari settori: metallurgia, cantieristica, lavorazione del legno, carta e abbigliamento. Ad esempio, presso l'Istituto careliano dell'industria forestale sotto la direzione di I. V. Sobolev, presso l'Università statale di Petrozavodsk sotto la direzione di V. A. Kuznetsov, sono in corso lavori relativi all'applicazione di metodi di ottimizzazione alle imprese industriali della Carelia e della Russia nord-occidentale. Qui vengono sviluppati metodi per risolvere i problemi di ottimizzazione nell'industria della cellulosa e della carta. Sono implementati in complessi di programmi applicati volti a risolvere i problemi associati al taglio e alla pianificazione dei lavori nell'industria della lavorazione del legno. Oltre ai compiti direttamente legati al taglio, nell'organizzazione della produzione vengono considerati problemi tecnologici: per facilità di montaggio è necessario produrre contemporaneamente o quasi contemporaneamente tutte le parti del prodotto attualmente in lavorazione, e le caratteristiche del taglio preliminare limitare la possibilità di disporre queste parti in rettangoli, il che porta a grandi sprechi. Questo è, ad esempio, segare tronchi, tagliare cartone ondulato.
Negli anni '70. presso l'Università statale di Omsk, sotto la guida di A. A. Kolokolov, iniziano anche la ricerca e lo sviluppo di algoritmi per la risoluzione di problemi di ottimizzazione discreti, che sono ridotti a problemi di cut-packing. L'attenzione principale di questo gruppo scientifico è rivolta ai problemi della programmazione lineare intera, ai problemi applicati di posizionamento, ai problemi di taglio incontrati nell'industria leggera e nella produzione di abbigliamento. Sono stati sviluppati e studiati nuovi algoritmi e approcci basati sull'uso di partizioni regolari di insiemi di rilassamento, partizioni a L. Va notato che i problemi con l'automazione del processo di taglio vengono affrontati fino ad oggi a Omsk, Novosibirsk. Viene presentata una panoramica dei sistemi CAD esistenti per la progettazione e la preparazione tecnologica della produzione di abbigliamento. Sebbene il compito principale di questi sistemi sia la modellazione di indumenti individuali e su piccola scala, il processo di taglio del materiale non utilizza metodi di calcolo di ottimizzazione complessi. Si può notare il lavoro di A. A. Petunin svolto a Ekaterinburg dalla fine degli anni '70, finalizzato all'automazione della progettazione del materiale da taglio. Hanno permesso in seguito di sviluppare il sistema universale "Sirius" con il proprio
potente interfaccia utente grafica per un'ampia gamma di attrezzature per il taglio della lamiera.
4. SVILUPPO MODERNO DI METODI PER LA SOLUZIONE DEI PROBLEMI DI CUT-PACKING
Nuovi metodi esatti efficienti sono stati sviluppati lungo diverse linee. Da un lato sono stati migliorati gli strumenti ILP: modellazione, metodi di ramificazione, piani di taglio. D'altra parte, si sono sviluppati metodi puramente combinatori, che in seguito hanno ricevuto lo sviluppo più completo nell'ambito dei metodi di intelligenza artificiale.
Ad esempio, viene presentato un metodo ibrido di ottimizzazione continua e un algoritmo di enumerazione per risolvere il problema dell'impacchettamento del poligono, in cui il problema dell'impacchettamento di rettangoli in una striscia è considerato un caso speciale, viene sviluppata una strategia per costruire un insieme di sistemi di equazioni e una serie di regole per tagliare i vertici dell'albero decisionale poco promettenti. Questo metodo è stato ulteriormente sviluppato alla fine degli anni '90.
Il compito di annidamento unidimensionale con singola completezza è il più adatto per la risoluzione con metodi combinatori. Uno dei primi è stato il metodo branch and bound basato sul rilassamento LP con generazione di colonne. Nella maggior parte delle varianti del metodo, la ramificazione viene eseguita su colonne separate. In questo articolo l'autore usa una versione dicotomica del metodo generalizzato per risolvere problemi discreti di minimax per questo problema. In esso, in ogni fase, la ramificazione lungo l'albero decisionale avviene in due sottoinsiemi, il che riduce l'enumerazione delle soluzioni ammissibili. Per i problemi del materiale da taglio 1D con completezza intera - problema del materiale da taglio 1D (1DCSP) - i metodi ILP sono più efficienti a causa dell'esplosione combinatoria. La maggior parte di loro utilizza il modello 1DCSP con generazione di colonne, proposto per la prima volta da L. V. Kantorovich e A. A. Zalgaller. Questo modello ha un divario di dualità empirico molto piccolo. Il numero di variabili del modello non è limitato polinomialmente nella dimensione del problema (il numero di elementi), quindi è piuttosto difficile stimare il numero di colonne generate durante la ricerca dell'ottimo. In pratica, è molto rilevante il problema di trovare rapidamente l'ottimo LP, ovvero il problema dell'accelerazione della convergenza del processo di generazione delle colonne.
La questione dell'applicazione effettiva di metodi combinatori esatti per la risoluzione di problemi di taglio e confezionamento di elevate dimensioni è ancora aperta. La ricerca è in corso per identificare i limiti che evitano di considerare varianti simmetriche delle regole di riduzione dell'enumerazione. Ad esempio, in un metodo con procedure di dominance, si considera il raggruppamento, la determinazione della riserva ammissibile, che consente di ridurre l'enumerazione.
Un apparato matematico che permette di calcolare l'ottimo in un problema di C&P non a ghigliottina in un numero finito di operazioni è stato proposto per la prima volta in , dove il problema di impacchettamento del rettangolo è formulato come un problema di ottimizzazione combinatoria e viene proposto un "metodo a zone" per trovare la soluzione ottimale. Basandosi sul concetto di "zone", si dimostra che per qualsiasi impacchettamento di rettangoli, è possibile specificare il loro ordine in cui ogni rettangolo successivo non interseca nessuna delle zone precedenti (ordinamento topologico). È dimostrato che tra gli imballaggi costruiti su confini a gradini, ce ne sono quelli ottimali. Per ridurre il numero delle opzioni sono stati proposti alcuni cut-off che consentono di scartare opzioni simmetriche rispetto a quelle già considerate, o ovviamente non migliori di altre.
I metodi euristici sono usati con successo per risolvere problemi combinatori della classe di quelli NP-hard. Tra le euristiche di alto livello, spiccano algoritmi avidi, che consentono di raggiungere limiti superiori. L'euristica multi-pass include il metodo di raffinamento sequenziale delle stime (Sequential Value Correction, SVC), originato dall'idea di stime oggettivamente determinate da L. V. Kantorovich. Il metodo SVC è implementato secondo uno schema modificato di primo ordinamento con procedure di precedenza e ripetizione. L'ordinamento degli elementi si basa sul senso economico delle variabili duali nella programmazione lineare. Il metodo può essere definito generale per la risoluzione di problemi C&P: è applicabile per il taglio lineare ea ghigliottina, l'imballaggio 2D e SD, nonché per il nesting di forme.
Quando si implementano schemi per la costruzione di soluzioni in problemi combinatori, vengono utilizzati vari modi per rappresentare una soluzione fattibile sotto forma di codice che, utilizzando la regola appropriata (decodificatore), viene convertito in modo univoco in un piano di imballaggio. I metodi di codifica e decodifica influiscono in modo significativo sull'efficienza delle soluzioni risultanti. In questo caso, il decoder stesso è un passaggio singolo
todom. Un decodificatore semplice e popolare è il decodificatore "in basso a sinistra", che consente in modo univoco di ottenere un piano di imballaggio per codice sotto forma di sequenza (elenco) di parti rettangolari. Il team Ufa ha sviluppato nuovi decoder a blocchi che consentono di rappresentare un pacchetto rettangolare sotto forma di un taglio lineare di una struttura speciale, per la quale vengono utilizzati metodi di soluzione lineare, grazie ai quali si ottengono soluzioni rapide ed efficienti. Lo stesso vale per il packaging 3D.
Se, con il metodo di decodifica scelto, ripetiamo la soluzione, modificando leggermente il codice già utilizzato, allora il valore della funzione obiettivo cambierà in meglio o in peggio. Con ripetute ripetizioni, puoi ottenere una soluzione abbastanza buona. Su questo principio, in combinazione con una combinazione di vari decoder, sono state sviluppate tecnologie per la costruzione di algoritmi di ricerca locale per C&P.
Pertanto, l'introduzione di elementi di casualità in un algoritmo deterministico ne aumenta l'efficacia. Quindi, ad esempio, l'efficienza del suddetto algoritmo SVC è aumentata dopo aver introdotto elementi stocastici al suo interno. Il rapido sviluppo di metodi probabilistici per la ricerca dell'ottimo locale è iniziato 20 anni fa con l'avvento della metaeuristica per la risoluzione di problemi NP-hard. In Russia, una rassegna dei metodi probabilistici per la ricerca ottimale locale di problemi NP-hard è fornita in . La recensione discute gli schemi generali degli algoritmi di ricerca tabù, la ricottura simulata, gli algoritmi evolutivi e genetici. È dimostrato che questi algoritmi, diversi nella loro struttura, utilizzano la costruzione matematica generale di catene finite di Markov, ed è anche dimostrato che con la corretta implementazione delle procedure di ricerca per queste metaeuristiche, quando non c'è alcun effetto di "rimanere bloccati" nell'ottimo locale si osserverà la convergenza di probabilità della soluzione migliore trovata con quella ottimale.
Tra le complesse metaeuristiche per problemi di C&P, gli algoritmi genetici sono stati i primi ad essere applicati. Esistono vari modi di codificare e tecniche per identificare le strutture più semplici (gene, alleli, cromosoma). Ciò dà origine a varie classi di algoritmi genetici. Anche gli algoritmi genetici vengono sviluppati con successo per risolvere i problemi del taglio figurato. Vengono esplorate e utilizzate anche altre metaeuristiche. Inoltre, di recente
Nel corso degli anni, l'uso dell'intelligenza artificiale si è sviluppato attivamente.
I cambiamenti nel paese iniziati negli anni '80 hanno permesso agli scienziati russi di pubblicare attivamente il loro lavoro all'estero su riviste dedicate alla ricerca operativa e di partecipare a conferenze internazionali. Una comunità chiamata SICUP (Special Interest Group on Cut-and-Pack) riunisce molti ricercatori interessati a questo problema in tutto il mondo. SICUP organizza sessioni su temi C&D all'interno di conferenze internazionali. Si è deciso di organizzare una nuova comunità ESICUP (http://pagmas.fe.up.pt/~esicup/tiki-
index.php). E la situazione inversa è la partecipazione di ricercatori stranieri alle edizioni speciali russe, ad esempio alla ricerca congiunta.
In URSS si sono tenuti seminari e conferenze scientifiche e pratiche a Leningrado, Ufa, Zvenigorod e altre città. In epoca moderna, le sezioni sono organizzate nell'ambito delle conferenze: Programmazione e applicazioni matematiche (Ekaterinburg, IMM URO AN RF); Analisi discreta e ricerca operativa (DAOR, Novosibirsk, IM SB RAS); Informatica e tecnologia dell'informazione (CSIT, Ufa, USATU); Tecnologie per il risparmio delle risorse (OPTIM, San Pietroburgo); Metodi di ottimizzazione e loro applicazioni (Baikal International Conference on Mathematical Programming, Irkutsk); Matematica discreta ed applicazioni economiche (Omsk, filiale dell'Istituto di matematica della filiale siberiana dell'Accademia delle scienze russa), ecc.
Nell'ultimo decennio rimangono rilevanti gli aspetti teorici del problema del taglio-imballaggio e della copertura geometrica, per la loro NP-complessità. L'obiettivo principale della ricerca scientifica russa sui metodi e sui problemi di C&P è legato non solo al miglioramento dell'efficienza dei metodi per risolverli, ma anche ai problemi in cui le attività di taglio e confezionamento sono incluse come attività secondarie. Ciò impone condizioni e restrizioni aggiuntive nella formulazione dei compiti. Ad esempio: nell'industria del legno, nell'industria leggera, nella progettazione di circuiti elettronici, nei trasporti e nella logistica di magazzino, nell'edilizia e cantieristica, ecc.
Così, ad esempio, le carte esplorano i problemi della pianificazione della produzione di imballaggi in cartone ondulato, della scelta dei veicoli e del posizionamento dei prodotti, della pianificazione della produzione di legname, della pianificazione del carico del trasporto per via d'acqua, del taglio e del prelievo in un modello
analisi dei processi tecnologici nelle condizioni di stocastica del processo produttivo, vengono presi in considerazione i criteri per l'efficacia di tali compiti.
Nel lavoro vengono descritti i prerequisiti teorici per la realizzazione di un sistema automatizzato di controllo del taglio nell'industria dell'abbigliamento, viene approfondito il problema della modellazione parametrica di oggetti tridimensionali complessi e la sua applicazione. Il contributo fornisce una breve panoramica dei sistemi CAD esistenti per la progettazione e la preparazione tecnologica della produzione di abbigliamento. Uno dei primi sviluppi nel campo del CAD per il designer di capi di abbigliamento è stato il sistema bielorusso "AVTOKROY" (Minsk), funzionante negli anni '80. nell'ONG "Belbyttekhnika". Il primo sistema progettato specificamente per la progettazione di abiti utilizzando un personal computer è stato il sistema LECO, sviluppato dall'Istituto centrale di ricerca e produzione dell'industria dell'abbigliamento (TsNIIShP). Attualmente, il sistema è utilizzato da piccole imprese di cucito e maglieria, nonché da università che formano specialisti nel campo della progettazione di capi di abbigliamento. Dopo LECO, appare una serie CAD: ASSOL System (Computer Technology Center presso l'Istituto di fisica e tecnologia di Mosca); Il sistema T-FLEX/ABBIGLIAMENTO utilizza tecniche costruttive standard; GRACE e altri Uno degli ultimi sviluppi è stato il sistema ELEANDR-CAD (Centro scientifico e tecnico per il design e la tecnologia presso l'Università statale di tecnologia di Mosca e la società "Eleander", 2003). In questo articolo, gli autori studiano il problema della copertura minima usando l'esempio della progettazione di prodotti in pelliccia.
Gli studi hanno dimostrato che compiti in cui è richiesto di formare, in un certo senso, un insieme ottimale di oggetti (macchine, insiemi di modelli di abbigliamento, tecniche, proprietà), coprendo i "bisogni" di un altro insieme (lavori, clienti, ordini , caratteristiche) in determinate condizioni dovute alle specificità i problemi possono essere ridotti a problemi di copertura e loro varie modificazioni. Sulla base, è stato sviluppato un algoritmo ibrido per risolvere i problemi di ottimizzazione della scelta degli oggetti nel processo di preparazione tecnica della produzione, anche durante la determinazione delle proprietà dominanti dei materiali, usando l'esempio dell'industria leggera. T. Pa-
nukova, . L'autore ha notato che nei problemi del taglio del materiale in fogli, un grafico piatto è un modello di un piano di taglio e il percorso che copre tutti i bordi determina la traiettoria dell'utensile da taglio. L'articolo presenta una modifica dell'algoritmo per la costruzione di una copertura con copertura ordinata per il caso di un grafo multicollegato. La costruzione di una copertura grafica con copertura ordinata risolve il problema dichiarato del taglio. Di maggiore interesse sono i rivestimenti con un numero minimo di catene, poiché il passaggio da una catena all'altra corrisponde a un passaggio a vuoto dell'utensile da taglio.
Nel lavoro viene fornito un esempio dell'applicazione di algoritmi genetici per automatizzare il posizionamento di elementi combustibili di varie dimensioni in moduli elettronici di layout tridimensionale basato su un criterio termico.
Molti lavori sono dedicati alla soluzione del problema del posizionamento del carico nei vani di carico dei veicoli, che si pone come sottocompito nei sistemi logistici. Ad esempio, nel compito di gestire il carico dei container, tenendo conto delle loro caratteristiche fisiche, in questo compito vengono prese in considerazione le condizioni di carico e scarico tecnologico dei beni di consumo, ovverosia sequenza di visite ai clienti durante la consegna della merce.
Il documento propone un algoritmo per risolvere un problema che si pone, ad esempio, nel settore edile: il problema della copertura geometrica di un poligono connesso in modo multiplo con una risorsa ortogonale. L'informazione iniziale è costituita dalle dimensioni dell'area coperta e dalla risorsa ortogonale disponibile, e le dimensioni degli elementi di copertura che devono essere successivamente tagliati dalla risorsa non sono predeterminate. Ciò porta ad un'ottimizzazione multicriterio del processo di costruzione di piante razionali interconnesse per una copertura geometrica con elementi rettangolari di dimensioni non specificate e taglio di una risorsa ortogonale in elementi di copertura.
Le caratteristiche tecnologiche delle apparecchiature di taglio causano l'insorgere di problemi nella progettazione di programmi di controllo per macchine da taglio lamiera. Nell'opera, l'autore rileva l'importanza del problema del costo e dell'importanza delle varie fasi del processo di taglio dei pezzi grezzi da una risorsa materiale, come, ad esempio, lo spostamento dell'utensile da taglio in un altro punto del foglio da tagliare e un nuovo taglio. Pertanto, oltre alla fitta collocazione dei pezzi sul piano di taglio, la funzione obiettivo è finalizzata all'ottimizzazione del percorso
utensile da taglio, tenendo conto del costo dei tagli, un nuovo tie-in.
Grande attenzione è riservata anche allo sviluppo teorico del problema del taglio e del confezionamento. Ad esempio, negli articoli vengono considerati i problemi di impacchettamento delle corrugazioni (poligoni collegati ortogonali) dal punto di vista della teoria generale del problema del posizionamento ottimale di oggetti geometrici, algoritmi per impacchettare corrugazioni n-dimensionali basati su metodi di programmazione lineare, come vengono proposti modelli e metodi per ottimizzare l'impaccamento di parallelepipedi n-dimensionali.
CONCLUSIONE
La varietà dei compiti di taglio, insieme all'importanza della loro soluzione razionale, determina l'interesse inestinguibile di ricercatori esperti e giovani di tutto il mondo per questo problema, che è la ragione della costante crescita del numero di nuovi metodi per risolverli.
I problemi C&P combinano in modo straordinario la loro ampia applicabilità pratica e la loro appartenenza a problemi NP-hard, il che rende questa problematica un importante banco di prova per nuove ricerche. Grazie a ciò, le idee di L. V. Kantorovich saranno utilizzate e sviluppate in varie aree dell'attività umana scientifica e pratica legate al problema del taglio.
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VALIAKHMETOVA Yulia Ilyasovna, Assoc. bar matematica. dipl. ing. (UGATU, 2004). Can. tecnico. Scienze in matematica. mod., num. metodi e pacchetti software (USATU, 2008). Ricerca nella regione ottimizzazione compiti di taglio e confezionamento. FILIPPOVA Anna Sergeevna, prof. bar informatica applicata. dipl. ing. (UGATU, 1996). Dott. tecnico. tappetino scientifico. modellismo, num. metodi e pacchetti software (SSAU, 2007). Ricerca nella regione algoritmi combinatori.
Titolo: Teoria dell'utilizzo ottimale delle risorse di L.V. Kanto-rovich nei problemi di cutting-packing: panoramica e storia dello sviluppo dei metodi risolutivi Autori: Yu. I. Valiakhmetova, AS Filippova. Affiliazione:
1 Università statale agraria del Bashkir (BSAU), Russia.
2 Università pedagogica statale baschirica di M. Akmulla (BSPU), Russia.
E-mail: [email protetta], [email protetta] Lingua: russo.
Fonte: Vestnik UGATU (rivista scientifica della Ufa State Aviation Technical University), vol. 18, n. 1 (62), pp. 186-197, 2014. ISSN 2225-2789 (in linea), ISSN 1992-6502 (stampa). Riassunto: L'articolo presenta esempi di tecniche di soluzione per problemi di taglio e confezionamento, che sono ancora rilevanti ai giorni nostri, tenendo conto della loro diversità e applicabilità multiforme. Gli articoli scientifici di L. V. Kantorovich sono considerati fondamentali per lo sviluppo di queste procedure. L'articolo offre una panoramica delle procedure per risolvere i problemi di imballaggio che sono stati sviluppati da scienziati sovietici e russi negli ultimi 80 anni, comprese varie scuole scientifiche dell'URSS e della Russia. Viene inoltre descritto il riepilogo delle procedure risolutive e la storia del loro sviluppo. Parole chiave: taglio, uso ottimale delle risorse, ottimizzazione, metodi esatti, metodi euristici.
VALIAKHMETOVA, Yuliya Ilyasovna, Prof. Associato, Dip. di Matematica, dipl. Ingegnere-programmatore (UGATU, 2004). Can. di Tech. sci. (UGATU, 2008). FILIPPOVA, Anna Sergeevna, prof., Dip. di Informatica Applicata. dipl. Ingegnere di sistema (UGATU, 1996). Can. di Tech. sci. (Univ. Statale di Ufa, 1999)., Dott. di Tech. sci. (Univ. aerospaziale statale di Samara, 2007).
Fino alla metà del XX secolo. gli economisti teorici hanno ignorato i modelli matematici dello studio. Tuttavia, nonostante l'oppressione, i matematici hanno continuato a lavorare e hanno ottenuto risultati brillanti. Tra questi ci sono i rappresentanti della scuola matematica L. Kantorovich e T.-Ch. Koopmans.
Kantorovich Leonid Vitalievich (1912-1986) - Economista sovietico, vincitore del premio Nobel (1975). Nato a San Pietroburgo, ha studiato all'Università di Leningrado. Nel 1930 L. Kantorovich fu membro del Congresso di matematica dell'Unione. Nello stesso anno si laureò all'università e quattro anni dopo gli fu conferito il titolo di professore. Nel 1930-1939. lavorò presso l'Istituto di ingegneria edile industriale di Leningrado, poi (fino al 1948) - capo del dipartimento della Scuola superiore di ingegneria e tecnica.
Nel 1935 divenne dottore in scienze fisiche e matematiche; fino al 1960 è stato professore all'Università di Leningrado. Possiede risultati di prim'ordine nell'analisi funzionale, nella teoria delle funzioni e nella matematica computazionale. I suoi lavori sulla teoria descrittiva delle funzioni e sulla teoria degli insiemi, sulla teoria costruttiva delle funzioni e sui metodi di analisi approssimati hanno ottenuto un ampio riconoscimento; ha gettato le basi per una nuova direzione nell'analisi funzionale: la teoria degli spazi vettoriali semiordinati, chiamati "spazi K". Il fenomeno di L. Kantorovich è che era allo stesso tempo un matematico ed economista di talento, che ha apportato modifiche alla comprensione dei fenomeni economici, ha ampliato il pensiero economico ed è diventato il fondatore di una scuola economica originale.
Nel 1958, insieme a V. Nemchinov, L. Kantorovich creò il Laboratorio per l'implementazione di metodi statistici e matematici in economia.
L. Kantorovich ha preso parte alla creazione della filiale siberiana dell'Accademia delle scienze dell'URSS. Nell'autunno del 1960 a Leningrado ha guidato un gruppo di matematici ed economisti, che si è trasferito a Novosibirsk ed è entrato a far parte dell'Istituto di matematica della filiale siberiana dell'Accademia delle scienze dell'URSS come dipartimento di matematica ed economia. Allo stesso tempo ha lavorato come professore all'Università di Novosibirsk. Nel 1971, dopo essersi trasferito a Mosca, lo scienziato ha diretto il Problem Laboratory presso l'Istituto di gestione dell'economia nazionale del Comitato di Stato del Consiglio dei ministri della scienza e della tecnologia dell'URSS.
È autore dei seguenti lavori: “Metodi per la soluzione approssimata di equazioni differenziali alle derivate parziali” (co-autore con V. Krylov) (1963), “Analisi funzionale in spazi semiordinati” (co-autore con B. Vulich e A. Pinsker) (1949), "Analisi funzionale e matematica applicata" (1948), "Calcolo economico del miglior uso delle risorse" (1959), "Analisi funzionale in spazi normati" (coautore con G. Akilov) , "Modello dinamico di pianificazione ottimale" (1967), "Prezzi e progresso tecnico" (1979), ecc.
L. Kantorovich è membro onorario dell'International Econometric Society, dottore onorario delle università di Grenoble, Helsinki, Yale, Parigi, Cambridge, Pennsylvania, nonché delle università di Varsavia, Glasgow, Monaco, Nizza e Martin Lutero a Hull, il Istituto di statistica di Calcutta. Premiato con due Ordini di Lenin.
Il contributo più importante di L. Kantorovich è stata la teoria della distribuzione ottimale delle risorse.
La teoria dell'allocazione ottimale delle risorse è una teoria che prevede la formulazione di modelli statistici e dinamici di pianificazione attuale e di lungo termine dell'uso delle risorse basati su nuovi approcci matematici nel campo della costruzione sistematica di indicatori economici utilizzati per l'analisi dei prezzi, l'efficacia degli investimenti di capitale.
Per la prima volta ha delineato i fondamenti della teoria della distribuzione ottimale delle risorse nel suo lavoro Metodi matematici per l'organizzazione e la pianificazione della produzione (1939). In esso, ha presentato una classe fondamentalmente nuova di problemi estremi con vincoli, avendo sviluppato un metodo efficace per risolverli. Fu in questo momento che lo scienziato formulò il compito di elaborare un piano e un sistema di prezzi come componenti interdipendenti di una dualità indivisibile. Dopotutto, è impossibile ridurre al minimo i costi e massimizzare i risultati allo stesso tempo. Allo stesso tempo, questi due approcci sono correlati: se troviamo lo schema di trasporto ottimale, allora ad esso corrisponde un certo sistema di prezzi. Se determiniamo i valori ottimali dei prezzi, è relativamente facile ottenere uno schema di trasporto che soddisfi i requisiti di ottimalità.
La base di questa teoria è il metodo della programmazione lineare.
La programmazione lineare è la soluzione di equazioni lineari (equazioni di primo grado) mediante l'aggiunta di programmi e l'introduzione di vari metodi per la loro soluzione sequenziale, che facilita notevolmente i calcoli e consente di ottenere risultati.
Il suo inizio fu la ricerca di una soluzione a un problema pratico. Nel 1937 L. Kantorovich, professore all'Università di Leningrado, fu avvicinato dagli ingegneri della locale fiducia del compensato con la richiesta di trovare un modo efficace per garantire la massima produttività del lavoro. Per la lavorazione di 5 tipi di materiale, sono state assegnate 8 macchine con una certa produttività di ciascuna di esse per ogni tipo di materiale.
In altre parole, era necessario risolvere uno specifico problema tecnico ed economico con una funzione oggettiva ("funzionale") - per massimizzare la produzione dei prodotti finiti. Era difficile farlo usando metodi allora conosciuti, poiché era necessario risolvere quasi un miliardo di equazioni algebriche. L. Kantorovich ha proposto il metodo della programmazione lineare, che è diventata una nuova branca della matematica e ha ottenuto riconoscimenti nella pratica economica, ha contribuito allo sviluppo e all'uso dei computer elettronici.
Lo scienziato capì l'importanza di creare una base matematica per risolvere un tipico problema economico. Le condizioni del problema per l'ottimalità e l'obiettivo possono essere espresse utilizzando un sistema di equazioni lineari. Le incognite in essi sono solo di primo grado; nessuna incognita viene moltiplicata per un'altra incognita. Tali equazioni esprimono dipendenze che possono essere rappresentate su un grafico con linee rette. Poiché ci sono meno equazioni che incognite, il problema ha diverse soluzioni e devi trovarne una.
Nel problema dell'ottimizzazione della produzione del compensato, L. Kantorovich ha introdotto una variabile che dovrebbe essere massimizzata come somma del costo dei prodotti realizzati da tutte le macchine. I limiti sono stati stabiliti sotto forma di equazioni che stabiliscono la relazione tra tutti i fattori utilizzati nella produzione (legno, colla, elettricità, tempo di manodopera) e la quantità di prodotto prodotto (compensato) su ciascuna macchina. Per gli indicatori dei fattori di produzione sono stati introdotti i coefficienti, detti "fattori decisivi" (moltiplicatori). Con il loro aiuto, il compito è risolto. Se sono noti i valori dei fattori decisivi, è possibile trovare relativamente facilmente le quantità richieste, in particolare il volume di produzione ottimale.
L. Kantorovich ha motivato l'essenza economica dei fattori decisivi da lui proposti. Sono, infatti, i costi marginali dei fattori limitanti. Cioè, questi sono i prezzi oggettivi di ciascuno dei fattori di produzione rispetto alle condizioni di un mercato competitivo. Per risolvere il problema dell'ottimalità, lo scienziato ha utilizzato il metodo delle approssimazioni successive, il confronto sequenziale delle opzioni con la scelta del migliore in base alle condizioni del problema.
Il termine "fattori decisivi" introdotto da L. Kantorovich in opere successive ha ricevuto un'interpretazione leggermente diversa e una formulazione diversa: "stime determinate oggettivamente". Queste stime non sono arbitrarie, i loro valori sono determinati oggettivamente, sono fissati dalle condizioni specifiche del problema. I valori di queste stime sono adatti solo per un compito specifico e, a differenza dei prezzi, non sono fissati dall'esterno, ma sono determinati dall'impresa stessa per uso interno. Lo scienziato ha proposto di calcolarli nello sviluppo dei piani; le imprese possono fare affidamento su questi indicatori per il calcolo dei costi e dei volumi di produzione. Le stime oggettivamente determinate sono rettificate in funzione del rapporto tra domanda e volumi di produzione. Incorporato
nella pratica di pianificazione e gestione, tali calcoli dovrebbero ottimizzare l'uso delle risorse.
I problemi di programmazione lineare erano noti già alla fine del XVIII secolo. Tuttavia, hanno iniziato a risolverli solo dopo la pubblicazione delle opere di L. Kantorovich. Negli Stati Uniti la ricerca sulla programmazione lineare iniziò solo alla fine degli anni Quaranta. Il problema del trasporto di Hitchcock e il metodo simplex di Danzica, che sono di natura simile al metodo di Kantorovich per risolvere i problemi di programmazione lineare, furono sviluppati dieci anni dopo.
Fino agli anni '50, non c'era quasi nessuna reazione all'approccio originale di L. Kantorovich. Riassumendo la sua ricerca, ha ampliato l'ambito dell'analisi.
Nell'opera "Calcolo economico del miglior uso delle risorse" e nei lavori successivi, ha introdotto il suo metodo di programmazione lineare per studiare un'ampia gamma di problematiche progettuali, anche a livello nazionale.
Un po' più tardi, ma indipendentemente da L. Kantorovich, una metodologia simile è stata proposta da T.-Ch. Koopmans.
Koopmans (Koopmans) Tyalling-Charles (1910-1985) - Economista americano, vincitore del premio Nobel (1975). Nato a Graveland (Paesi Bassi). Ha studiato all'Università di Utrecht. All'inizio era appassionato di matematica e fisica, lavorò come fisico e sotto l'impressione della Grande Depressione iniziò a studiare economia.
Dal 1934 studiò il problema dell'equilibrio generale all'Università di Amsterdam. Ha difeso la sua tesi di dottorato su "Linear Regression Analysis of Economic Time Series" nel 1936 presso l'Università di Leiden. Ha insegnato economia ed è stato impegnato in attività di ricerca presso il Netherlands Institute of Economics di Rotterdam.
Nel 1938-1940. ha lavorato come esperto della Società delle Nazioni sulla circolazione del denaro. Emigrato negli USA. Ha insegnato nelle università di New York, Chicago e Harvard. Dal 1955 - professore di economia alla Yale University. Nel 1950 è stato eletto Presidente dell'International Econometric Society e nel 1978 Presidente dell'American Economic Association.
T.-Cap. Koopmans è stato editore e coautore di uno dei primi lavori fondamentali sulla programmazione lineare, Analisi delle attività di produzione e distribuzione (1951).
Lo scienziato possiede importanti risultati nello sviluppo della teoria del capitale, nell'analisi operativa. Ha dedicato alcuni suoi lavori alla distribuzione ottimale delle risorse produttive, alla valutazione statistica dei parametri nei modelli economici e matematici.
I suoi figli sono lavori di statistica ed economia matematica. L'opera più riconosciuta è stata "Analisi dell'attività di produzione e distribuzione", preparata da un gruppo di autori sotto la sua guida, nonché le opere "Conclusione statistica in modelli dinamici dell'economia" (1950), "Tre saggi sulla stato delle scienze economiche" (1957), ecc.
T.-Cap. Koopmans è un Distinguished Member dell'American Economic Association, Professor Emeritus della Yale University, ha ricevuto lauree honoris causa dalla Netherlands School of Economics, dalle università Northwestern e Pennsylvania e dalla Catholic University of Louvain.
Nel 1944-1945. a nome dell'Anglo-American United Council for the Regulation of Navigation T.-Ch. Koopmans sviluppò un piano per la navigazione mercantile che riduceva al minimo la possibilità di pericolosi siluri di navi mercantili vuote da parte di sottomarini fascisti. L'obiettivo era ridurre al minimo la corsa al minimo delle navi.
Ha toccato questo argomento nel suo lavoro "The Correlation between Freight Traffic on Different Routes" (1942). Lo scienziato ha mostrato che il problema dovrebbe essere considerato come una funzione di massimizzazione lineare entro molti vincoli. Le restrizioni sono state presentate da equazioni matematiche che esprimono il rapporto tra il numero di fattori di input della produzione (ammortamento delle navi, tempo, costo del lavoro) e la quantità di merci consegnate a destinazioni diverse. Tuttavia, il valore di eventuali costi non può superare l'importo esplicito del costo delle merci consegnate a ciascun porto. Lo scienziato è giunto alla conclusione che l'essenza del principio della programmazione lineare è che nel caso ottimale e secondo le stime ideali di tutte le risorse, i costi ei risultati saranno uguali.
Mentre lavorava per la British Trade Mission a Washington, T.-Ch. Koopmans ha utilizzato strumenti matematici e ha creato un metodo per determinare l'allocazione ottimale delle risorse tra consumatori concorrenti. Utilizzando questo metodo è stato possibile, ad esempio, calcolare i costi di consegna di milioni di tonnellate di merci, che vengono trasportate da migliaia di navi via mare verso centinaia di porti. Metodo T.-Cap. Koopmans, che si chiamava "analisi delle attività dell'azienda", entrò nella metodologia generale della programmazione lineare.
Nel 1947 lo scienziato annunciò le sue scoperte in una conferenza internazionale sulla statistica. A quel tempo, stava attivamente sviluppando e diffondendo metodi di programmazione lineare. Con la sua assistenza nel 1949 si tenne a Chicago la prima conferenza speciale sulla programmazione lineare.
Nel 1950 T.-Cap. Koopmans, insieme ai suoi sostenitori, ha completato la formulazione di un metodo per analizzare le attività dell'azienda. Modelli di questo tipo, oltre che intersettoriali, lineari, tuttavia, ogni tipologia di attività produttiva può essere associata al rilascio di più beni. Inoltre vi è la possibilità di scegliere tra diverse tecnologie di produzione per ogni tipologia di prodotto. Un modello di produzione, come l'analisi delle prestazioni di un'azienda, contiene in genere più gradi di libertà rispetto a un tipico modello input-output, il che crea naturali opportunità di ottimizzazione. Ecco perché l'analisi delle attività dell'azienda si è sviluppata in stretta connessione con la programmazione lineare.
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